Isométrie du plan

• 1) Définitions et Propriétés

 

Définitions  : Soit f une transformation du plan, on dit que f est une isométrie si et seulement si pour tout point M et N on a M'N'=MN où M'=f(M) et N'=f(N)

Théorème  : La composée d'une translation et d'une rotation est une rotation de même angle.

Composition de 2 rotations : Soit r₁=rot(r₁,a₁) et r₂=rot(r₂,a₂) alors :

• Si a₁+a₂=2k, k entier, alors r₁or₂ et r₂or₁ sont des translations
• Si a₁+a₂2k, k entier, alors r₁or₂ et r₂or₁ sont des rotations d'angle a₁+a₂

Propriétés : Les isométries conservent les produits scalaires, les barycentres, les aires, les contacts et les angles non orientés.

Théorèmes :  : Une réflexion est une symétrie par rapport à un axe.

• La composée de 2 réflexions d'axes parallèles D1 et D2 est une translation de vecteur 2, où est un vecteur normal à D1 et D2 tel que (t_u=translation de vecteur )
• Toute translation peut se décomposer en 2 réflexions d'axes parallèles et ces axes sont orthogonaux au vecteur de la translation.

Composition de réflexions : Soit S_D1 et S_D2 deux réflexions d'axes D1 et D2 sécantes, alors S_D1oS_D2 est une rotation de centre I (point d'intersection des deux droites) et d'angle , où I₁ est sur D1 et I₂ est sur D2.

Théorème : Toute rotation peut se décomposer en 2 réflexions d'axes sécants.

 

• 2) Classification des isométries

 

Au moins 3 points fixes non alignés  : C'est l'identité du plan.

2 points fixes A et B : réflexion d'axe (AB)

1 point fixe O : rotation de centre 0 ou réflexion d'axe passant par O

Aucun point fixe : Composition d'une translation et d'une rotation ou d'une réflexion.

Théorème :Toute isométrie conservant les angles orientés est un déplacement.

Un déplacement est une rotation ou une translation ; les autres sont des " anti-deplacements ". La composition de 2 déplacements est un déplacement.