Definition : Soit f une
fonction définie sur un intevalle I. On dit que F est une primitive de f sur
I ssi Quelquesoit x de I, . F'(x) = f(x)
Theorème : Si
F et G sont 2 primitives d'une même fonction f sur I alors, il existe
une constante K réelle telle que : Qqsoit x de I, G(x)
= F(x) + K.
Exemple : f(x)=x2 l'ensemble
des primitives de f est l'ensemble des fonctions F(x)=x3/3
+K
Ensuite, on trouve une primitive particulière suivant
l'énoncé : ex: primitive de f tq F(5)=10.
Théorème : Soit f une
fonction continue sur I, et xo un point de I, yo un réel, il
existe une et une seule primitive F de f sur I tq F(xo)=yo. En fait on trouve K en fonction de xo et
yo.
CALCUL DE PRIMITIVES
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Fonction
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Primitive
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f(x)=a
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F(x)=ax + b
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f(x)=xn (n-1)
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F(x)=xn+1/n+1 K
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f(x)=1/x2
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F(x)= -1/x +K
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f(x)=cos(ax+b)
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F(x)=a-1sin(ax+b)+K
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f(x)=sin(ax+b)
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F(x)= -a-1cos(ax+b)+K
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f(x)=1/cos2(x)=1+tan2(x)
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F(x)=tan(x) +K
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f(x)=1/x
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F(x)=2x +K
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f(x)=1/x
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F(x) = Ln(x)+K
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f(x)=ex
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F(x)=ex+K
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f(x)=cos(x)
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F(x)=sin(x)+K
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f(x)=sin(x)
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F(x)= - cos(x)+K
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f(x)=ax(a0 et a1)
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F(x)=ax/Ln(a) + K
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f(x)=Ln(x)
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F(x)=x(Ln(x)-1)+K
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un.u'
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un+1/n+1 + K
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u'/u
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Lnu+K
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u'/2u
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u + K
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u'.eu
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eu+K
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eu
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eu/u' +K vrai si u=ax+b, faux sinon
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le signe de l'intégrale sera remplacé
par le signe : §
Définition :Soit
f une fonction continue sur [a,b], F une primitive de f sur [a,b] alors
on pose F(b)-F(a) l'intégrale de f sur [a,b] notation: §f(t)dt=F(b)-F(a) où F est UNE
primitive de f sur [a,b].
Théorème : En fait l'intégrale
de f sur [a,b] défini l'aire sous la courbe de f.
Propriétés :§ (f+g)(t)dt=§f(t)dt +§g(t)dt §kf(t)dt=k§f(t)dt
§[a,b]f(t)dt+§[b,c]f(t)dt=§[a,c]f(t)dt §[a,b]f(t)dt=
- §[b,a]f(t)dt
si f positive sur
[a,b] alors §[a,b]f(t)dt>0
Intégration par Parties : §(u'(x).v(x))dx=
[u(x).v(x)] - §(u(x).v'(x))dx