Les Coniques
Définition : Soit D une droite, F
un point du plan tel queF n'appartient pas à D. On appelle Conique
de foyer F, de direction D et d'extrémité e l'ensemble : avec H projeté orthogonal de M sur D.
Types de Coniques suivant les valeurs
de e :
- e>1 hyperbole
- e=1 parabole
- 0<e<1 ellipse
Définitions
:
- Axe focal : droite passant
par F et perpendiculaire à la directrice. L'axe focal est un axe de
symétrie.
- Sommet : On app elle
sommet d'une conique les points de cette conique appartenant à l'axe
focal.
La Parabole
:
Equation dans le repère (S,i,j) avec S sommet de
la parabole, i de même sens que et j vecteur directeur de la directrice.
On posera p=d(F,D) et F(p/2; 0).
L'équation de la directrice est alors : s=-p/2.
Les indications ci
dessous sont valables pour p<0 et p>0.
Equation
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Y2=2PX
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X2=2PY
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Sommet
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Centre du nouveau repère
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Idem
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Axe focal
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Nouvel axe des abscisses
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Nouvel axe des ordonnées
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Foyer
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F(p/2;0) dans nouveau repère
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F(0;p/2) dans nouveau repère
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Dessin
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Ellipse
L'équation est du type : avec . e=c/a et b=Ö (a2-c2)
d'où c=Ö (a2-b2)
Deux foyers : F et
F'. Deux directrices D, D'.
C'est une conique à centre.
Théorème :
Les coniques à
centre admettent 2 paires de directrices et foyers symétriques par rapport
au centre.
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a>b
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a<b
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Centre
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Centre du nouveau repère
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Idem
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Axe focal ou Grand Axe
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Axe des abscisses du nouveau repère (y=0)
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Axe des ordonnées du nouveau repère (x=0)
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Sommets dans nouveau repère
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A(a,0); A'(-a,0) sur l'axe focal et B(0,b) et
B'(0,-b) sur l'autre axe
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B(0,b) et B'(0,-b) sur l'axe focal et A(a,0);
A'(-a,0) sur l'autre axe
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Foyers dans nouveau repère
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F(c,0) et F'(-c,0)
tel que c=Ö (a2-b2)
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F(0,c) et F'(0,-c)
tel que c=Ö (b2-a2)
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Directrice
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X=a2/c et X=-a2/c
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Y=b2/c et Y=-b2/c
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Excentricité
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e=c/a
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e=c/b
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Dessin
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L'Hyperbole
L'équation de l'hyperbole est et a,b,c et e ont les mêmes propriétés
que pour l'ellipse.
Equation dans nouveau repère
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Centre
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Centre du nouveau repère
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Idem
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Axe focal ou Grand Axe
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Axe des abscisses du nouveau repère (y=0)
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Axe des ordonnées du nouveau repère (x=0)
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Sommets dans nouveau repère
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A(a,0); A'(-a,0)
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B(0,b) et B'(0,-b)
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Foyers dans nouveau repère
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F(c,0) et F'(-c,0)
tel que c=Ö (a2-b2)
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F(0,c) et F'(0,-c)
tel que c=Ö (b2-a2)
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Directrice
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X=a2/c et X=-a2/c
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Y=b2/c et Y=-b2/c
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Asymptotes
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Y=(b/a)x et y=-(b/a)x
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Y=(b/a)x et y=-(b/a)x
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Excentricité
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e=c/a
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e=c/b
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Dessin
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